2.21 双曲線関数

双曲線関数（hyperbolic function）とは

$\displaystyle y$

$\displaystyle =\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\,,$

$\displaystyle y$

$\displaystyle =\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\,,$

$\displaystyle y$

$\displaystyle =\tanh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{\sinh x}{\cosh x}\,$

(92)

により定義される関数である．関数の読み方は上から hyperbolic sine, hyperbolic cosine, hyperbolic tangent である．また双曲線関数の逆数を

$\displaystyle \mathrm{cosech}\,x$

$\displaystyle =\frac{1}{\sinh x}\,,$

$\displaystyle \mathrm{sech}\,x$

$\displaystyle =\frac{1}{\cosh x}\,,$

$\displaystyle \coth x$

$\displaystyle =\frac{1}{\tanh x}\,$

(93)

と定義する．

注意 2.61 (三角関数と双曲線関数) 三角関数は複素関数を用いて次のようにも定義される：

$\displaystyle \sin x$	$\displaystyle =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\,,$	(94)
$\displaystyle \cos x$	$\displaystyle =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\,,$	(95)
$\displaystyle \tan x$	$\displaystyle = \frac{1}{i} \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}=\frac{\sin x}{\cos x}\,.$	(96)

双曲線関数の定義との類似に注意せよ．

問 2.62 (双曲線関数の概形) 双曲線関数の概形を書け．

定理 2.63 (双曲線関数の性質) 双曲線関数は次の性質をもつ．

$\displaystyle \sinh(-x)$	$\displaystyle =-\sinh(x)\,$ → 奇関数	(97)
$\displaystyle \cosh(-x)$	$\displaystyle =\cosh(x)\,$ → 偶関数	(98)
$\displaystyle \tanh(-x)$	$\displaystyle =-\tanh(x)\,$ → 奇関数	(99)
$\displaystyle \cosh^2 x$	$\displaystyle - \sinh^2 x=1\,$	(100)
$\displaystyle \sinh(x\pm y)$	$\displaystyle =\sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y\,$	(101)
$\displaystyle \cosh(x\pm y)$	$\displaystyle =\cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y\,$	(102)
$\displaystyle \tanh(x\pm y)$	$\displaystyle =\frac{\tanh x \pm \tanh y}{1\pm \tanh x \tanh y}\,$	(103)

問 2.64 (双曲線関数の性質) この性質を証明せよ．

（証明）双曲線関数の定義をそのまま用いれば証明できる．

問 2.65 (双曲線関数の性質) 次の式を導け．

	$\displaystyle \cosh^2x=\frac{1}{2}(\cosh 2x+1)$	(104)
	$\displaystyle \sinh^2x=\frac{1}{2}(\cosh 2x-1)$	(105)
	$\displaystyle \sinh x\cosh x= \frac{1}{2}\sinh 2x$	(106)
	$\displaystyle \tanh^2x=1-\frac{1}{\cosh^2x}$	(107)

問 2.66 ( 倍角の公式) $\cosh 2x$ , $\cosh 3x$ , $\cosh 4x$ , $\cdots$ を $\cosh x$ の多項式で表せ．

（答え）

$\displaystyle \cosh 2x$	$\displaystyle = 2\cosh^2x-1\,,$	(108)
$\displaystyle \cosh 3x$	$\displaystyle = 4\cosh^3x-3\cosh x\,,$	(109)
$\displaystyle \cosh 4x$	$\displaystyle = 8\cosh^4x-8\cosh^2x+1\,.$	(110)

問 2.67 ( 倍角の公式) $\cosh^2x$ , $\cosh^3x$ , $\cosh^4x$ , $\cdots$ を $\cosh 2x$ , $\cosh 3x$ , $\cosh 4x$ , $\cdots$ の線形結合で表せ．

（答え）

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 \\ \cosh x \\ \cosh2x \\ \cosh3x \\ \cosh4x \end... ...} \begin{bmatrix}1 \\ \cosh x \\ \cosh^2x \\ \cosh^3x \\ \cosh^4x \end{bmatrix}$

(111)

より

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 \\ \cosh x \\ \cosh^2x \\ \cosh^3x \\ \cosh^4x \... ...rix} \begin{bmatrix}1 \\ \cosh x \\ \cosh2x \\ \cosh3x \\ \cosh4x \end{bmatrix}$

(112)

となるので

$\displaystyle \cosh^2 x$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\cosh2x+\frac{1}{2}\,,$	(113)
$\displaystyle \cosh^3x$	$\displaystyle =\frac{1}{4}\cosh3x+\frac{3}{4}\cosh x\,,$	(114)
$\displaystyle \cosh^4x$	$\displaystyle =\frac{1}{8}\cosh4x+\frac{1}{2}\cosh2x-\frac{1}{8}\,$	(115)