6.1 不定積分

関数 $f(x)$ に関して $x$ で``微分をする''という操作を $${\frac{d}{dx}}$$ という 演算子，作用素（operator）で表すとする． すなわち関数 $f(x)$ に微分演算 $${\frac{d}{dx}}$$ を作用させるとは

$$\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)$$ (816)

のことである． この微分演算の逆演算を考える． これを $${\left(\frac{d}{dx}\right)^{-1}}$$ と表記し

$$\left(\frac{d}{dx}\right)^{-1}f(x)=F(x)$$ (817)

と表すことにする． 逆演算により得られる関数 $F(x)$ は 方程式

$$\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$$ (818)

を満たす関数と定義する． 定義からただちに分かるように， ある関数 $F(x)$ が 方程式()を満たすとき， $C$ を任意定数として関数 $F(x)+C$ もまた 方程式()を満たす． よって必ず

$$\left(\frac{d}{dx}\right)^{-1}f(x)=F(x)+C$$ (819)

が成り立つ． 微分の逆演算 $${\left(\frac{d}{dx}\right)^{-1}}$$ は 通常 $${\int\,dx}$$ という記号を用いる． これで書き直すと

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$ (820)

と表せる．

定義 6.1 (不定積分)   関数 $f(x)$ に対して， 微分演算 $${\frac{d}{dx}}$$ の 逆演算を $${\int dx}$$ と表記し，

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C \quad\overset{\text{def}}{\Leftrightarrow}\quad \frac{d}{dx}F(x)=f(x)$$ (821)

と定義する．ただし $C$ は任意定数である． $${\int f(x)\,dx}$$ を不定積分（indefinite integral）， $f(x)$ を被積分関数（integrand）， $C$ を積分定数（constant of integration）， $F(x)$ を原始関数（primitive function）と呼ぶ．

Kondo Koichi
平成17年8月31日