6 内分点

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6 内分点

定理 1.24 (内分点) 点 $A(\vec{a})$ , $B(\vec{b})\in\mathbb{R}^{n}$ に対して点 $P(\vec{p})$ が

$\displaystyle AP:PB=t:1-t$

(24)

を満すとき，

$\displaystyle \vec{p}=\vec{p}(t)= \vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})= (1-t)\vec{a}+t\vec{b}\,, \qquad t\in\mathbb{R}$

(25)

が成り立つ．

のとき点

は点

の 内分点（internally dividing point）を表し，

のとき 外分点（externally dividing point）を表す．

注意 1.25 (内分点とパラメータ) 端点は $\vec{p}(0)=\vec{a}$ , $\vec{p}(1)=\vec{b}$ であり，

の中点は $\vec{p}(1/2)=(\vec{a}+\vec{b})/2$ である．

例 1.26 (内分点の具体例) 点

, $B(2,-1)\in\mathbb{R}^{2}$ を考える．このとき

とする内分点 $P(\vec{p})$ は

$\displaystyle \vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}= (1-t) \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{b... ...x}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}+ t \begin{bmatrix}1 \\ -2 \end{bmatrix}$

(26)

と与えられる．点

の座標を

とする．このとき

$\displaystyle \vec{p}= \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1+t \\ 1-2t \end{bmatrix}$

(27)

より

$\displaystyle \frac{x-1}{1}= \frac{y-1}{-2}=t$

(28)

が成り立つ．

を消去すると

$\displaystyle 2x+y-3=0$

(29)

となる．この式は点

を通る $\mathbb{R}^2$ 内の直線の方程式を表す．内分点

は直線上の点である．

問 1.27 (2 次元空間内の内分点) 点 $A(a_{1},a_{2})$ , $B(b_{1},b_{2})$ を

と内分する点

を求めよ．また，点

を通る直線の方程式を求めよ．

例 1.28 (内分点の具体例) 点

, $B(2,-1,1)\in\mathbb{R}^{3}$ を考える．このとき

と内分する点 $P(\vec{p})$ は

$\displaystyle \vec{p}= (1-t)\vec{a}+t\vec{b}= (1-t) \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 ... ...{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}+ t \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}$

(30)

と与えられる．

とすると $\vec{p}={[x\,\,y\,\,z]}^{T}$ より

$\displaystyle \frac{x-1}{1}= \frac{y-1}{-2}=t\,,\quad z=1$

(31)

が成り立つ．この式は点

を通る $\mathbb{R}^3$ 内の直線の方程式を表す．

定理 1.29 (3 次元空間内の内分点と直線の方程式) 点 $A(a_{1},a_{2},a_{3})$ , $B(b_{1},b_{2},b_{3})\in\mathbb{R}^3$ を考える．

と内分する点を $P(\vec{p})=P(x,y,z)$ とする．このとき

$\displaystyle \vec{p}(t)=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}=a+t(\vec{b}-\vec{a})$

(32)

であり，

$\displaystyle \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_{1} \\... ...trix}+ t \begin{bmatrix}b_{1}-a_{1} \\ b_{2}-a_{2} \\ b_{3}-a_{3} \end{bmatrix}$