13 直線の方程式

定義 1.51 (直線)   $\mathbb{R}^n$ 空間内の点 $X$ の位置ベクトルが

$$\vec{x}(t) =\vec{q}+t\,\vec{p}\,,\quad \vec{x},\vec{p},\vec{q}\in\mathbb{R}^{n}\,,\quad \forall t \in\mathbb{R}$$ (67)

と表されるとき， 点 $X$ の軌跡を直線（line）という． $\vec{p}$ を方向ベクトル（tangent vector）という．

注意 1.52 ( $\mathbb{R}^{3}$ の直線の方程式)   直線 $\vec{x}=\vec{q}+t\vec{p}\in\mathbb{R}^3$ を考える． ここで

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}\,,\quad \vec{q}... ...\ z_{0} \end{bmatrix}\,,\quad \vec{p}= \begin{bmatrix}a \\ b \\ c \end{bmatrix}$$ (68)

とおく． $\vec{x}$ は点 $Q(x_{0},y_{0},z_{0})$ を通り 方向ベクトルが $\vec{p}$ の直線である．

$$\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x_{0} \\... ... c \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x_{0}+at \\ y_{0}+bt \\ z_{0}+ct \end{bmatrix}$$ (69)

より， $t$ についてまとめると 直線の方程式は

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=t$$ (70)

と表される． これは $\mathbb{R}^{3}$ の直線の方程式 である．

問 1.53 ( $\mathbb{R}^{3}$ の直線の方程式の具体例)   点 $(2,1,3)$ を通り 方向ベクトルが ${[-2\,\,3\,\,1]}^{T}$ の 直線の方程式を求めよ．

例 1.54 ( $\mathbb{R}^{3}$ の直線の方程式の具体例)   点 $A(1,2,-1)$, $B(-1,3,-2)$ を通る直線の方程式を考える． 直線は点 $A$ を通り，方向ベクトルは $\overrightarrow{AB}$ である． すなわち，

$$\vec{q}=\overrightarrow{OA}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{bma... ...{bmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$$ (71)

とおく． 直線の方程式のパラメータ表示は

$$\vec{x}=\vec{q}+t\vec{p}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatri... ...x}-2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1-2t \\ 2+t \\ -1-t \end{bmatrix}$$ (72)

である．$t$ を消去して 直線の方程式の成分表示は

$$\frac{x-1}{-2}= \frac{y-2}{1}= \frac{z+1}{-1}$$ (73)

である．

注意 1.55 ( $\mathbb{R}^{2}$ の直線の方程式)   直線 $\vec{x}=\vec{q}+t\vec{p}\in\mathbb{R}^2$ を考える． このとき

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\,,\quad \vec{q}= \be... ...{0} \\ y_{0} \end{bmatrix}\,,\quad \vec{p}= \begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$$ (74)

とおく． $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式は

$$\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_0}{b}=t$$ (75)

と表される． この式は 点 $Q(x_{0},y_{0})$ を通り 方向ベクトルが $\vec{p}={[a\,\,b]}^{T}$ であることが 分かり易い形である．

式変形をする． $a'=b$, $b'=-a$, $c'=-a'x_{0}-b'y_{0}$ とおく． すると

$$a'(x-x_{0})+b'(y-y_0)=0$$ (76)

であり，または

$$a'x+b'y+c'=0$$ (77)

となる． この式は $\vec{n}={[ a'\,\,\,\,b']}^{T}={[ b\,\,-a]}^{T}$ を用いると

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$$ (78)

とも表される． $\vec{x}-\vec{q}=t\vec{p}$ であるから， ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{n}\cdot\vec{p}=0$ を満たす． すなわち $\vec{n}$ は方向ベクトル $\vec{p}$ と直交する． 方向ベクトルと直交するベクトルを 法線ベクトル（normal vector）という．

さらに式変形する． $\tilde{a}=-a'/b'=b/a$ とおく． すると

$$y=\tilde{a}(x-x_{0})+y_{0}$$ (79)

と表される． この式は $y$ は $x$ についての $1$ 次関数であることと， 直線は点 $Q(x_{0},y_{0})$ を通り 傾きが $\tilde{a}$ であることが分かり易い形である．

問 1.56 ( $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式)   点 $(3,5)$ を通り方向ベクトルが ${[2\,\,\,-1]}^{T}$ の 直線の方程式を求めよ．

問 1.57 ( $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式)   点 $(3,5)$ を通り法線ベクトルが ${[2\,\,\,-1]}^{T}$ の 直線の方程式を求めよ．

問 1.58 ( $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式の具体例)   点 $A(1,2)$, $B(3,-2)$ を通る直線の方程式を考える． まず

$$\vec{q}=\overrightarrow{OA}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix}\... ...rix}- \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2 \\ -4 \end{bmatrix}$$ (80)

とおく．$\vec{p}$ は方向ベクトルである． 直線の方程式のパラメータ表示は

$$\vec{x}=\vec{x}(t)= \vec{q}+t\vec{p}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{... ...begin{bmatrix}2 \\ -4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2t+1 \\ -4t+2 \end{bmatrix}$$ (81)

である． $\vec{x}={[x\,\,\,y]}^{T}$ とおき $t$ を消去すると， 直線の方程式の成分表示は

$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-4}$$ (82)

であり，変形して

$$2x+y-4=0$$ (83)

である．法線ベクトルは $\vec{n}={[2\,\,\,1]}^{T}$ である．

定義 1.59 (単位方向ベクトル，単位法線ベクトル)   長さが $1$ の方向ベクトルを 単位方向ベクトル（unit tangent vector）という． 長さが $1$ の法線ベクトルを 単位法線ベクトル（unit normal vector）という．

例 1.60   方程式

$$2x+y-4=0$$ (84)

の単位方向ベクトルは

$$\vec{p}= \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{-2}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$$ (85)

であり， 単位法線ベクトルは

$$\vec{n}= \begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$$ (86)

である．

Kondo Koichi
Created at 2004/11/26