11 ベクトルの直交

定義 1.45 (ベクトルの直交)   $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ のとき $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は 直交する（orthogonal）という． このとき $\vec{a}\perp\vec{b}$ と表記する．

例 1.46 (ベクトルの直交の具体例)  

$$\mathbb{R}^{2}\ni \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{2}= \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}$$ (57)

を考える．このとき

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= 1\times1+1\times(-1)=0$$ (58)

が成り立つ． $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は互いに直交する．

例 1.47 (ベクトルの直交の具体例)  

$$\mathbb{R}^{n}\ni \vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdo... ...ts,\quad \vec{e}_{n}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\,$$ (59)

を考える．このとき $i,j=1,2,\cdots,n$ に対して

$$\vec{e}_{i}\cdot\vec{e}_{j}= \delta_{ij}= \left\{ \begin{array}{cc} 1 & (i=j)\\ 0 & (i\neq j) \end{array}\right.$$ (60)

が成り立つ． よって $\vec{e}_{1}$, $\vec{e}_{2}$, $\cdots$, $\vec{e}_{n}$ は 互いに直交する．

Kondo Koichi
Created at 2004/11/26