8 ノルム

定義 1.35 (ノルム)   ベクトル $\mathbb{R}^{n}\ni\vec{a}$ または $\mathbb{C}^{n}\ni\vec{a}$ に対して

$$\Vert\vec{a}\Vert=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}= \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\vert a_{k}\vert^2}$$ (41)

をベクトルのノルム（norm）または 長さ（length）という．

例 1.36 (ノルムの具体例)  

$$\mathbb{R}^{2}\ni \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix}$$ (42)

のノルムはそれぞれ

$$\Vert\vec{a}\Vert = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}= \sqrt{1\times1+1\times1}=\sqrt{2}\,,$$ (43)

$$\Vert\vec{b}\Vert = \sqrt{\vec{b}\cdot\vec{b}}= \sqrt{2\times2+(-1)\times(-1)}=\sqrt{5}$$ (44)

である．

$$\mathbb{R}^{3}\ni \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$ (45)

のノルムはそれぞれ

$$\Vert\vec{a}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^{3}\vert a_{k}\vert^2}= \sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\,,$$ (46)

$$\Vert\vec{b}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^{3}\vert b_{k}\vert^2}= \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{6}$$ (47)

である．

定理 1.37 (ノルムの性質)   シュバルツの不等式（Schwartz' inequality）：

$$\vert\vec{a}\cdot\vec{b}\vert\leq \Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert\,,\quad \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^{n}$$ (48)

三角不等式（triangle inequality???）：

$$\Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert\leq \Vert\vec{a}\Vert+\Vert\vec{b}\Vert\,,\quad \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^{n}$$ (49)

Kondo Koichi
Created at 2004/11/26