9 漸化式を用いた積分の計算

例 6.31 (漸化式による不定積分の求積)   不定積分

$$I_{n} = \int\cos^{n}x\,dx\,\qquad n=0,1,2,\cdots\,,$$ (958)

$$J_{n} = \int\sin^{n}x\,dx\,,\qquad n=0,1,2,\cdots$$ (959)

を考える． $n=0$ のとき

$$I_{0} = \int\,dx=x+C\,,$$ (960)

$$J_{0} = \int\,dx=x+C\,$$ (961)

を得る． $n=1$ のとき

$$I_{1} = \int\cos x\,dx=\sin x+C\,,$$ (962)

$$J_{1} = \int\sin x\,dx=-\cos x+C$$ (963)

を得る． $n\ge2$ のときを考える． $I_{n}$ を部分積分を用いて計算すると

$$I_{n} = \int\cos^{n}x\,dx= \int\cos^{n-1}x\,\cos x\,dx= \int\cos^{n-1}x\,(\sin x)'\,dx$$ (964)

$$= \cos^{n-1}x\,\sin x- \int(n-1)\cos^{n-2}x\,(-\sin x)\,\sin x\,dx$$ (965)

$$= \cos^{n-1}x\,\sin x+ (n-1) \int\cos^{n-2}x\,\sin^2 x\,dx$$ (966)

$$= \cos^{n-1}x\,\sin x+ (n-1) \int\cos^{n-2}x\,(1-\cos^2x)\,dx$$ (967)

$$= \cos^{n-1}x\,\sin x+ (n-1) \left\{ \int\cos^{n-2}x\,dx- \int\cos^{n}x\,dx\right\}$$ (968)

$$= \cos^{n-1}x\,\sin x+(n-1)(I_{n-2}-I_{n})$$ (969)

$$= \cos^{n-1}x\,\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}$$ (970)

となる．$I_{n}$ を移項すると

$$(1+(n-1))I_{n} = \cos^{n-1}x\,\sin x+(n-1)I_{n-2}$$ (971)

$$n\,I_{n} = \cos^{n-1}x\,\sin x+(n-1)I_{n-2}$$ (972)

$$I_{n} = \frac{1}{n}\cos^{n-1}x\,\sin x+\left(1-\frac{1}{n}\right)I_{n-2}$$ (973)

を得る． 最後の式は漸化式である． この漸化式より不定積分 $I_{n}$ が求まる． 同様にして

$$J_{n} = -\frac{1}{n}\cos x\,\sin^{n-1}x+ \left(1-\frac{1}{n}\right)J_{n-2}$$ (974)

を得る．

問 6.32 (漸化式による不定積分の求積)   $J_{n}$ についての漸化式を求めよ．

注意 6.33 (三角関数の不定積分の計算例)   $I_n$, $J_n$ は $n$ 倍角の公式を用いても求積される． （問 参照）

Kondo Koichi
Created at 2004/08/14