4 置換積分法

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4 置換積分法

定理 6.7 (置換積分法) 積分変数を $x=\phi(t)$ と変換すると

$\displaystyle \int f(x)\,dx= \int f(\phi(t))\phi'(t)\,dt= \int f(\phi(t))\frac{dx}{dt}\,dt$

(820)

となる．また逆に

$\displaystyle \int f(\psi(x))\psi'(x)\,dx= \int f(t)\,dt= F(t)+C= F(\psi(x))+C$

(821)

と積分変数を $t=\psi(x)$ と置き換えて積分する．この積分の方法を 置換積分法（integration by substitution）という．

（証明）関数をの原始関数とする．変数を $x=\phi(t)$ と変数変換する．このとき $\displaystyle{\frac{dF}{dt}}$ は合成関数の微分則より

$\displaystyle \frac{dF(\phi(t))}{dt}$

$\displaystyle = \frac{d}{dt}F(\phi(t))= F'(\phi(t))\phi'(t)= f(\phi(t))\phi'(t)$

(822)

となる．両辺をで積分すると

$\displaystyle \int\frac{dF}{dt}\,dt= \int f(\phi(t))\phi'(t)\,dt$

(823)

を得る．左辺は

$\displaystyle \int\frac{dF(\phi(t))}{dt}\,dt= F(\phi(t))+C=F(x)+C= \int f(x)\,dx$

(824)

であるから証明終了．

例 6.8 (置換積分の使用例) 不定積分

$\displaystyle I$

$\displaystyle =\int(ax+b)^{m}\,dx$

(825)

を計算する．まず

$\displaystyle t$

$\displaystyle =ax+b$

(826)

と変数変換する．このとき両辺をで微分すると

$\displaystyle \frac{dt}{dx}$

$\displaystyle =a$

(827)

であるので

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$

$\displaystyle =\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{1}{a}$

(828)

を得る．これより置換積分法を用いると不定積分は

$\displaystyle I$

$\displaystyle = \int t^{m}\frac{dx}{dt}\,dt= \int t^{m}\frac{1}{a}\,dt= \frac{1... ...[3ex] \displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert t\vert+C} & (m=-1) \end{array} \right.$

(829)

となる．変数をに戻すと

$\displaystyle I$

$\displaystyle = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{(ax+b)^{m+1}}{a(m... ...x] \displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert ax+b\vert+C} & (m=-1) \end{array} \right.$

(830)

を得る．

置換積分は慣れてくれば変数変換を省略して計算をする．次のように式変形を行なう：

$\displaystyle I$	$\displaystyle = \int (ax+b)^{m}\,dx$	(831)
	$\displaystyle = \frac{1}{a}\int (ax+b)^{m}(ax+b)'\,dx$	(832)
	$\displaystyle = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{1}{a(m+1)}(ax+b)^... ...\displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert ax+b\vert+C} & (m=-1) \end{array} \right.\,.$	(833)

例 6.9 (置換積分の使用例)

$\displaystyle I$

$\displaystyle = \int\cos(ax+b)\,dx= \frac{1}{a} \int\cos(ax+b)(ax+b)'\,dx= \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C\,.$

(834)

例 6.10 (置換積分の使用例)

$\displaystyle I$	$\displaystyle = \int\frac{(x+2)\,dx}{\sqrt{1-2x^2}} = \int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-... ...ight)^{-\frac{1}{2}}\,dx + \int\frac{2\,dx} {\sqrt{1-\left(\sqrt{2}x\right)^2}}$	(835)
	$\displaystyle = -\frac{1}{4} \int \left(1-2x^2\right)' \left(1-2x^2\right)^{-\f... ...{2}} \int\frac{\left(\sqrt{2}x\right)'\,dx} {\sqrt{1-\left(\sqrt{2}x\right)^2}}$	(836)
	$\displaystyle = -\frac{1}{4}\cdot 2\cdot \left(1-x^2\right)^{\frac{1}{2}} + \fr... ...frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + \sqrt{2}\mathrm{Sin}^{-1}\left(\sqrt{2}x\right)+ C\,.$	(837)

例 6.11 (置換積分の使用例)

$\displaystyle I$

$\displaystyle = \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}= \frac{1}{a} \int\frac{1}{\sqrt{1... ...qrt{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\,dx= \sinh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\,.$