5 巾関数の微分

定理 3.13 (巾関数の微分)  

$$\frac{d}{dx}\,x^{n}=n\,x^{n-1} \quad( n )$$ (223)

問 3.14   これを示せ．

（証明） $y=f(x)=x^{n}$ とおき定義に従い計算すると，

$$\frac{dy}{dx}=f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$$ (224)

を得る．ここで

$$(x+h)^n = \sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\,x^{n-k}h^{k}$$ (225)

$$= x^n+n\,x^{n-1}h+\frac{1}{2}n(n-1)\,x^{n-2}h^2+\cdots+n\,xh^{n-1}+h^{n}$$ (226)

$$=x^{n}+n\,x^{n-1}h+h^2\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\,x^{n-k}h^{k-2}$$ (227)

であることを用いると

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{(x+h)^n-x^n}{h}= n\,x^{n-1}+h\left\{\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\,x^{n-k}h^{k-2}\right\}$$ (228)

となる． $h\to0$ のとき $n\,x^{n-1}$ の項は生き残り， その後ろの項は消える． よって

$$\frac{dy}{dx}=f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= n\,x^{n-1}$$ (229)

を得る．

定理 3.15 (負巾関数の微分)  

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^n}= \frac{d}{dx}\,x^{-n}= \frac{-n}{x^{n+1}}=-n\,x^{-n-1} \quad( n )$$ (230)

問 3.16   これを示せ．

（証明） $y=f(x)=1/x^n$ とおく． このとき

$$f(x+h)-f(x)=\frac{1}{(x+h)^n}-\frac{1}{x^n}= \frac{x^n-(x+h)^n}{(x+h)^n\,x^n}$$ (231)

$$\quad= \frac{\displaystyle{x^n-x^n-n\,x^{n-1}h- h^2\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}x^{n-h}h^{k-2}}} {(x+h)^n\,x^n}$$ (232)

$$\quad= -h\frac{\displaystyle{n\,x^{n-1}+ h\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}x^{n-k}h^{k-2}}}{(x+h)^n\,x^n}$$ (233)

となる．これを用いて

$$\frac{dy}{dx} =f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ (234)

$$=-\lim_{h\to0} \frac{\displaystyle{n\,x^{n-1}+ h\sum_{k=2}^{n}\be... ...h^{k-2}}}{(x+h)^n\,x^n}= -\frac{n\,x^{n-1}+0}{(x+0)^n\,x^n}= \frac{-n}{x^{n+1}}$$ (235)

を得る．

定理 3.17 ($m$ 乗根関数の微分)  

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt[m]{x}= \frac{d}{dx}\,x^{\frac{1}{m}}= \frac{\sqrt[m]{x}}{m\,x}= \frac{1}{m}\,x^{\frac{1}{m}-1} \quad( m )$$ (236)

問 3.18   これを示せ．

（証明） $y=f(x)=\sqrt[m]{x}=x^{\frac{1}{m}}$ とおく． このとき

$$f(x+h)-f(x) =(x+h)^{\frac{1}{m}}-x^{\frac{1}{m}}$$ (237)

である． ここで

$$a^{m}-b^{m} =(a-b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+a^{m-3}b^2+\cdots+ab^{m-2}+b^{m-1})$$ (238)

$$=(a-b)\sum_{k=1}^{m}a^{m-k}b^{k-1}$$ (239)

$$\Rightarrow \quad a-b=\frac{a^{m}-b^{m}}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{m}a^{m-k}b^{k-1}}}$$ (240)

であることを用いる． $a=(x+h)^{\frac{1}{m}}$, $b=x^{\frac{1}{m}}$ とおくと

$$f(x+h)-f(x) = \frac{\left((x+h)^{\frac{1}{m}}\right)^{m}-\left(x^{\frac{1}{m}... ...} {\displaystyle{\sum_{k=1}^{m} \left((x+h)^{m-k}x^{k-1}\right)^{\frac{1}{m}}}}$$ (241)

$$= \frac{h} {\displaystyle{\sum_{k=1}^{m} \left((x+h)^{m-k}x^{k-1}\right)^{\frac{1}{m}}}}$$ (242)

を得る．よって

$$\frac{dy}{dx} =f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{1}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{m} \left((x+h)^{m-k}x^{k-1}\right)^{\frac{1}{m}}}}$$ (243)

$$= \frac{1}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{m} \left((x+0)^{m-k}x^{k-1}\... ...frac{m-1}{m}}}}= \frac{1}{m\,x^{\frac{m-1}{m}}}= \frac{1}{m}\,x^{\frac{1}{m}-1}$$ (244)

となる．

定理 3.19 (巾関数の微分)  

$$\frac{d}{dx}\,x^{\alpha}= \alpha\,x^{\alpha-1} \quad(\alpha\in\mathbb{R})$$ (245)

（証明） 次節の $(\log x)'=1/x$, $(e^{x})'=e^{x}$ が既に証明済みであるとする． このとき

$$y =f(x)=x^{\alpha}=(e^{\log x})^{\alpha}=e^{\alpha\,\log x}$$ (246)

と表されるのでこれを微分すると

$$y' = \left(e^{\alpha\,\log x}\right)'= \left(e^{\alpha\,\log x}\righ... ...lpha\,\log x}\frac{\alpha}{x}= x^{\alpha}\frac{\alpha}{x}= \alpha\,x^{\alpha-1}$$ (247)

を得る．

Kondo Koichi
Created at 2004/08/14