17 広義積分

有限区間で連続な関数に対し定義される量が定積分である． 不連続点を含む区間や無限区間における積分へ拡張する． この拡張された積分を広義積分（improper integral）という．

定義 5.58 (不連続点を含む区間での広義積分)   関数 $f(x)$ が $x=a$ で不連続で， $(a,b]$ で連続なとき，

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon\to+0} \int_{a+\epsilon}^{b}f(x)\,dx\,.$$ (1044)

$x=b$ で不連続で，$[a,b)$ で連続なとき，

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon\to+0} \int_{a}^{b-\epsilon}f(x)\,dx\,.$$ (1045)

$x=c$ $(a<c<b)$ で不連続で，$[a,b]$ で連続なとき，

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon_1\to+0} \int_{a+\epsilon_1}^{b}f(x)\,dx + \lim_{\epsilon_2\to+0} \int_{a}^{b-\epsilon_2}f(x)\,dx\,.$$ (1046)

以上の極限が存在するとき広義積分は収束するという．

例 5.59 (不連続点を含む広義積分の具体例)  

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}= \lim_{\varepsilon\to+0} \int_{0... ...^{1}= \lim_{\varepsilon\to+0} \left( 2\sqrt{1}-2\sqrt{\varepsilon} \right)=2\,.$$ (1047)

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x}= \lim_{\varepsilon\to+0} \int_{0+\varep... ...og 1-\log\varepsilon\right)= -\lim_{\varepsilon\to+0}\log\varepsilon=+\infty\,.$$ (1048)

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2}= \lim_{\varepsilon\to+0} \int_{0+\var... ...}^{1}= \lim_{\varepsilon\to+0}\left( -1+\frac{1}{\varepsilon}\right)=+\infty\,.$$ (1049)

定理 5.60 (広義積分の収束次数)   実数 $p>0$ に対して次の広義積分が成り立つ：

$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}= \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{1}{1-p}} & (0<p<1) \\ [1em] +\infty & (p\geq1) \end{array}\right.$$ (1050)

問 5.61 (広義積分の収束次数)   これを示せ．

定義 5.62 (無限区間での広義積分)   関数 $f(x)$ が無限区間 $[a,\infty)$ で連続なとき，

$$\int_{a}^{+\infty}f(x)\,dx= \lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\,.$$ (1051)

無限区間 $(-\infty,b]$ で連続なとき，

$$\int_{-\infty}^{b}f(x)\,dx= \lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\,.$$ (1052)

無限区間 $(-\infty,\infty)$ で連続なとき，

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx= \lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\,.$$ (1053)

以上の極限が存在するとき広義積分は収束するという．

例 5.63 (無限区間での広義積分の具体例)  

$$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^2+1}= \lim_{b\to\infty} \int_{0}^{b... ...}^{b}= \lim_{b\to\infty} \left(\mathrm{Tan}^{-1}(b)-\mathrm{Tan}^{-1}(0)\right)$$ (1054)

$$= \lim_{b\to\infty}\mathrm{Tan}^{-1}(b)=\frac{\pi}{2}\,.$$ (1055)

例 5.64 (無限区間での広義積分の具体例)   $\alpha>0$ に対して

$$\int_{-\infty}^{0}e^{\alpha\,x}\,dx= \lim_{a\to-\infty} \int_{a}^... ...a\to-\infty} \frac{1}{\alpha} \left(1-e^{\alpha\,a}\right)= \frac{1}{\alpha}\,.$$ (1056)

例 5.65 (無限区間での広義積分の具体例)  

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}= \lim_{b\to\infty} \int_{1}^... ...g[2\sqrt{x}\Big]_{1}^{b}= \lim_{b\to\infty} \left(2\sqrt{b}-2\right)=+\infty\,.$$ (1057)

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}= \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b}\fra... ...lim_{b\to\infty} \left(\log b-\log 1\right)= \lim_{b\to\infty}\log b=+\infty\,.$$ (1058)

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2}= \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b}\f... ...-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}= \lim_{b\to\infty} \left(-\frac{1}{b}+1\right)=1\,.$$ (1059)

定理 5.66 (広義積分の収束次数)   実数 $p>0$ に対して次の広義積分が成り立つ：

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^p}= \left\{\begin{array}{ll} +\infty & (0<p\leq1) \\ [1em] \displaystyle{\frac{1}{1-p}} & (p>1) \end{array}\right.$$ (1060)

問 5.67 (広義積分の収束次数)   これを示せ．

Kondo Koichi
Created at 2003/08/29