10 定積分

定義 5.32 (定積分)   有限区間 $[a,b]$ において関数 $f(x)$ は連続とする． 区間 $[a,b]$ を

$$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{k-1}<x_{k}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b$$ (956)

のように $n$ 個の領域に分割する． このとき面積

$$S_{n} = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_{k})\Delta x_{k}\,,\quad \xi_{k}\in I_{k}=[x_{k}, x_{k-1}]\,,\quad \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$$ (957)

を考える． 極限 $n\to\infty$ のもと 面積 $S_{n}$ の極限が存在するとき， この極限を

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f(\xi_{k})\Delta x_{k}\,$$ (958)

と書き， 関数 $f(x)$ の $a$ から $b$ までの 定積分（definite integral）という． このとき $f(x)$ は積分可能であるという． 区間 $[a,b]$ を積分区間という．

注意 5.33 (定積分の意味)   区間 $[a,b]$ において $x$ 軸と $y=f(x)$ とで囲まれた領域の 符合付き面積である．

例 5.34 (定積分の具体例)  

$$\int_{a}^{b} c\,dx= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)\Delta x_{k}= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} c(x_{k}-x_{k-1})$$ (959)

$$= \lim_{n\to\infty} c\left( (x_{n}-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+\cdots+(x_1-x_0)\right)$$ (960)

$$= \lim_{n\to\infty} c\left(x_{n}-x_{0}\right)= \lim_{n\to\infty}c(b-a)=c(b-a)\,.$$ (961)

Kondo Koichi
Created at 2003/08/29